रस्सी के सहारे बनाया गया भवन

इस शृंखला का पहला भाग अपनी भट्ठी पर काम करते एक लोहार के साथ समाप्त हुआ था। यह भाग हाथ में रस्सी लिए एक पुरोहित से शुरू होता है।

वैदिक अनुष्ठानों के लिए अग्नि-वेदियाँ चाहिए थीं। वे अनुमान से बनाई गई वेदियाँ नहीं थीं—उनका आकार और क्षेत्रफल तय था, ईंटों के माप तय थे और उन्हें रखने का क्रम भी तय था। एक गृहस्थ के पास तीन वेदियाँ होती थीं: एक गोल, एक अर्धवृत्ताकार और एक वर्गाकार। और यहीं वह शर्त आती है जो पूरी समस्या बदल देती है: कुछ अनुष्ठानों में इन तीन अलग-अलग आकारों का क्षेत्रफल समान होना आवश्यक था।

एक क्षण इस पर विचार कीजिए। ऐसा वृत्त और वर्ग बनाइए जो जमीन का बिल्कुल समान क्षेत्र घेरें। यह केवल देखकर नहीं किया जा सकता। बार-बार कोशिश करके भी भरोसे के साथ नहीं किया जा सकता। इसके लिए एक विधि चाहिए—और यदि हर वर्ष, अलग-अलग स्थानों पर, अलग-अलग पुरोहितों को उसी विधि का सही उपयोग करना हो, तो उसे लिखकर सुरक्षित करना पड़ता है।

इसीलिए भारत के सबसे पुराने गणितीय ग्रन्थ वास्तव में अनुष्ठान-विधि के ग्रन्थ हैं।

इन निर्माणों में सबसे कठिन है *अग्निचयन (Agnicayana)*—अग्नि की ईंटें चुनने और जमाने का बारह दिन का अनुष्ठान, जिसमें पक्षी के आकार की एक विशाल वेदी बनाई जाती है।

बाज़ के आकार को *श्येनचिति (śyenaciti) कहा जाता है; श्येन का अर्थ बाज़ या शिकरा है। शुक्ल यजुर्वेद का शतपथ ब्राह्मण* इसके लिए कई पूरे अध्याय देता है और इस निर्माण को प्रजापति द्वारा ब्रह्माण्ड को जोड़ने की प्रक्रिया के मानवीय पुनरावर्तन के रूप में प्रस्तुत करता है।

इसके नियम बहुत कठोर हैं:

• वेदी भट्ठी में पकाई गई ईंटों की पाँच परतों से बनती है।
• पहली, तीसरी और पाँचवीं परत का विन्यास एक जैसा होता है; दूसरी और चौथी का विन्यास अलग होता है।
• बाज़ाकार वेदी की पहली परत में पाँच अलग आकारों की 200 ईंटें लगती हैं; दूसरी परत में भी 200 ईंटें लगती हैं, पर उसके लिए पाँच अतिरिक्त प्रकार की ईंटें चाहिए।
• ईंटें इस तरह रखी जाती हैं कि समान आकार और रूप की कोई ईंट ठीक दूसरी के ऊपर न आए—परतों के जोड़ एक-दूसरे से हटे हुए होने चाहिए।
• हर ईंट अपने विशेष मन्त्र के साथ रखी जाती है।

ईंटों की कुल संख्या परम्परा और वेदी के प्रकार के अनुसार बदलती है। सामान्यतः पक्षी के आकार वाली ऊपरी वेदी के लिए लगभग 1,000 और पूरे निर्माण के लिए 10,800 ईंटों का उल्लेख मिलता है। बड़ी संख्या का सम्बन्ध एक वर्ष के मुहूर्तों की गिनती से है।

शतपथ ब्राह्मण पक्षी के शरीर (आत्मन्) को एक वर्ग के रूप में बताता है, जिसकी हर भुजा लगभग चार पुरुष-लम्बाई—करीब चालीस फुट—की होती है। एक भी ईंट रखने से पहले भूमि को जोता जाता है, सींचा जाता है और उसमें बीज बोए जाते हैं।

यह सचमुच एक निर्माण-परियोजना है। किसी को दस अलग आकारों की ईंटों के माप ऐसे तय करने हैं कि उनमें से दो सौ ईंटें बिना खाली जगह और बिना एक-दूसरे पर चढ़े ठीक बाज़ का आकार भर दें—और अगली परत में यही काम एक अलग विन्यास के साथ फिर करना है।

यदि आवश्यकता केवल ‘एक बाज़ बनाओ’ होती, तो कोई कुशल राजमिस्त्री यह काम कर सकता था। इसे गणित की समस्या बनाने वाली शर्त क्षेत्रफल की है।

वेदी की हर परत का एक तय क्षेत्रफल होना था—आम तौर पर साढ़े सात वर्ग पुरुष, जहाँ एक पुरुष हाथ ऊपर उठाए व्यक्ति की ऊँचाई के बराबर माप है। क्षेत्रफल तय है। आकार तय है। ईंटों को उसे बिना कुछ बाकी छोड़े पूरा भरना है।

फिर अनुष्ठान एक और सचमुच कठिन माँग जोड़ता है: हर बार दोहराए जाने पर वेदी को ठीक उसी आकार में रखते हुए उसका क्षेत्रफल एक इकाई बढ़ाना होता है।

सोचिए, यह माँग क्या कहती है। केवल ‘इसे बड़ा कर दो’ नहीं—पंख और पूँछ वाले आकार को एक सटीक मात्रा से इतना बढ़ाओ कि कुल क्षेत्रफल पिछली बार से ठीक एक वर्ग पुरुष अधिक हो। यह आकार का अनुपात बदलने और क्षेत्रफल सुरक्षित रखने की समस्या है; इसमें अनुमान से काम नहीं चल सकता।

इसी व्यावहारिक आवश्यकता के कारण शुल्ब ग्रन्थ बताते हैं:

• दो दिए गए वर्गों के कुल क्षेत्रफल के बराबर एक वर्ग कैसे बनाया जाए
• दो वर्गों के क्षेत्रफल के अन्तर के बराबर एक वर्ग कैसे बनाया जाए
• किसी आयत को समान क्षेत्रफल वाले वर्ग में कैसे बदला जाए
• किसी वर्ग को समान क्षेत्रफल वाले वृत्त में और फिर वापस वर्ग में कैसे बदला जाए

इनमें से हर विधि एक वास्तविक ज्यामितीय प्रमेय है। फिर भी इन्हें प्रमेय के रूप में नहीं, काम करने के निर्देशों के रूप में प्रस्तुत किया गया है।

इन ग्रन्थों को *शुल्बसूत्र (Śulbasūtra)* कहा जाता है—और उनका नाम ही उनकी विधि का परिचय देता है।

*शुल्ब (śulba)* का अर्थ डोरी, रस्सी या सूत्र है और इसकी धातु का सम्बन्ध मापने से है। ये रस्सी से मापने के नियम हैं। इस पूरी ज्यामिति का साधन एक चिह्न लगी रस्सी है, जिसे जमीन में खूँटों से बाँधकर खींचा जाता है।

चार मुख्य ग्रन्थ सुरक्षित हैं और सभी यजुर्वेद की शाखाओं से जुड़े हैं:

• बौधायन शुल्बसूत्र—सबसे पुराना और सबसे व्यवस्थित
• आपस्तम्ब शुल्बसूत्र—बौधायन के कई नियमों का विस्तार करता है
• कात्यायन शुल्बसूत्र
• मानव शुल्बसूत्र

विद्वान सामान्यतः इन्हें लगभग 800–500 ईसा-पूर्व का मानते हैं। साथ ही अकादमिक साहित्य में यह सावधानी भी दी जाती है कि ये सम्भवतः और पुराने हैं तथा इनमें दर्ज विधियाँ सूत्र-रूप में लिखे जाने से बहुत पहले प्रयोग में रही होंगी। ये ग्रन्थ स्पष्ट रूप से पाणिनि से पहले के हैं, इसलिए इनकी रचना छठी शताब्दी ईसा-पूर्व से पहले हुई थी—यह निष्कर्ष ठोस आधार पर टिका है।

यह वह वाक्य है। आज संसार जिसे पाइथागोरस प्रमेय कहता है, उसका कहीं भी सुरक्षित सबसे पुराना लिखित कथन यही है—और यह वेदियाँ बनाने की पुस्तिका में मिलता है।

यह सूत्र दो तरह से छपा हुआ मिल सकता है: चतुरश्र या चतुरस्र, और तिर्यङ्मानी या तिर्यग् मानी। ये उसी पंक्ति की वर्तनी और सन्धि के भेद हैं, अलग पाठ नहीं।

इसे एक कारीगर की तरह पढ़िए। जमीन पर खूँटों से एक आयत बनाया गया है। एक कोने से दूसरे कोने तक रस्सी खींचिए। उस रस्सी पर बनाया जा सकने वाला वर्ग, आयत की दोनों भुजाओं पर बने वर्गों के कुल क्षेत्रफल के बराबर होगा। कोई चिह्न नहीं, कोई औपचारिक प्रमाण नहीं—रस्सी और जमीन की भाषा में दिया गया काम का निर्देश।

इसके बाद ग्रन्थ उन भुजा-लम्बाइयों की सूची देता है जिनमें परिणाम पूर्ण संख्या में आता है:

• 3 और 4
• 12 और 5
• 15 और 8
• 7 और 24
• 12 और 35
• 15 और 36

ये पाइथागोरस त्रिक हैं, जिन्हें खेत में समकोण बनाने वालों के लिए व्यावहारिक तालिका की तरह लिखा गया है।

बौधायन वर्ग का उदाहरण भी देते हैं: वर्ग के आर-पार खींची गई रस्सी उसके क्षेत्रफल का दोगुना उत्पन्न करती है।

शुल्ब ग्रन्थों में इसी सरल निर्देशात्मक शैली में दूसरे परिणाम भी दिए गए हैं:

• आयत के विकर्ण एक-दूसरे को आधा-आधा काटते हैं
• समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर आधा-आधा काटते हैं
• वर्ग की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को जोड़ने पर आधे क्षेत्रफल का वर्ग बनता है

किसी वर्ग का क्षेत्रफल दोगुना करते ही उसके विकर्ण की लम्बाई चाहिए—जो भुजा की लम्बाई का √2 गुना होती है। इससे बचने का कोई रास्ता नहीं, और √2 अपरिमेय संख्या है। इसलिए उन्होंने इसका मान निकाला।

इस निर्देश को चरण-दर-चरण खोलें:

1 + ⅓ + (1 / 3×4) − (1 / 3×4×34)

गणना करने पर 1.4142157... मिलता है।

वास्तविक मान 1.4142136... है—अर्थात् शुल्बसूत्र का मान पाँच दशमलव स्थान तक सही है, और इसे केवल इकाई भिन्नों के योग से पाया गया, जिसे कोई पुरोहित मन में याद रख सकता था।

अन्त में आया शब्द *सविशेष (saviśeṣa) केवल अस्पष्ट अर्थ वाला ‘लगभग’ नहीं है। रस्सी के नियम जानने वाले शुल्बविदों की परम्परा में विशेष उस छोटे अतिरिक्त अंश का तकनीकी नाम था जो वर्ग को दोगुना करने पर बचता है, और सविशेष* स्वयं विकर्ण के मान को कहता था। त्रुटि के अंश के लिए उनकी अपनी शब्दावली थी।

ध्यान दीजिए कि इसका क्या अर्थ है: वे जानते थे कि यह मान पूरी तरह सटीक नहीं है और उन्होंने ग्रन्थ में यह बात साफ कही। यह गणितीय परिपक्वता का संकेत है।

वेदी से जुड़ी सबसे कठिन आवश्यकता—समान क्षेत्रफल वाला वृत्त और वर्ग—के लिए बौधायन यह निर्देश देते हैं:

सरल भाषा में: वर्ग के आधे विकर्ण को लें, देखें कि वह आधी भुजा से कितना अधिक है, उस अतिरिक्त भाग का एक-तिहाई जोड़ें और प्राप्त लम्बाई को त्रिज्या मानकर वृत्त खींचें।

इससे बना वृत्त सही आकार के बहुत निकट होता है, हालाँकि बिल्कुल सटीक नहीं। किसी वृत्त के बिल्कुल बराबर क्षेत्रफल का वर्ग बनाना सिद्धान्ततः असम्भव है—यह बात उन्नीसवीं शताब्दी में ही सिद्ध हुई। शुल्ब की अलग-अलग रचनाओं से π के अलग व्यावहारिक मान निकलते हैं, जिनमें 676/225 (≈ 3.004), 900/289 (≈ 3.114) और 1156/361 (≈ 3.202) शामिल हैं।

इन मानों के अन्तर को ईमानदारी से देखना चाहिए। ये π का कोई एक मानक मान नहीं, बल्कि कई व्यावहारिक अनुमान हैं—हर अनुमान उस विशेष निर्माण के लिए पर्याप्त था जिसमें उसका उपयोग होना था। शुल्बसूत्रों के रचयिता वेदियाँ बना रहे थे, किसी स्थिरांक की खोज नहीं कर रहे थे। अधिक सटीक मान 3.1416 बाद में, लगभग 499 ईस्वी में आर्यभट ने दिया।

ऊपर दिए ग्रन्थों से कुछ निष्कर्ष निकलते हैं। उन्हें सावधानी से कहना आवश्यक है, क्योंकि इस विषय में हर ओर से बढ़ा-चढ़ाकर दावे किए जाते हैं।

ये सचमुच सबसे पुराने सुरक्षित ज्यामिति-ग्रन्थ हैं। बौधायन शुल्बसूत्र भारतीय ज्यामिति की सबसे पुरानी उपलब्ध लिखित रचना है और उसका विकर्ण-नियम इस प्रमेय का कहीं भी ज्ञात सबसे पुराना लिखित कथन है। यह एक वास्तविक और टिकाऊ दावा है।

लेकिन ‘सबसे पुराना लिखित कथन’ का अर्थ ‘पहली बार ज्ञात होना’ नहीं है। यह सम्बन्ध पुराने बेबीलोन के लोगों को इससे पहले ज्ञात था और उनके पास √2 का अपना मान था। वह अलग विधि से मिला था और उसकी त्रुटि भी अलग थी, इसलिए विद्वान दोनों परम्पराओं के बीच उधार लेने की बात नहीं मानते। दो अलग परम्पराओं को एक ही संख्या की आवश्यकता थी और दोनों ने उसे अपने तरीके से खोजा।

यह गणित व्यावहारिक है, अमूर्त नहीं। शुल्ब ग्रन्थ निर्माण-विधियाँ और परिणाम देते हैं; वे प्रमाण नहीं देते और सामान्य सिद्धान्त बनाने का प्रयास नहीं करते। यह उन लोगों का गणित है जिन्हें एक काम पूरा करना था—ऐसी वेदी बनाना जो अनुष्ठान की माँग को एकदम सही माप तक पूरा करे।

और यही सबसे रोचक बात है। यहाँ कोई ज्यामिति की स्थापना करने नहीं निकला था। उन्हें दो सौ ईंटों और पाँच परतों वाला, साढ़े सात वर्ग पुरुष क्षेत्र घेरने वाला बाज़ बनाना था, जिसे अगली बार ठीक एक इकाई बढ़ाया जा सके। जब ऐसी आवश्यकता को लम्बे समय तक पूरी गम्भीरता से लिया जाता है, तो उससे ज्यामिति जन्म लेती है।

एक रस्सी, कुछ खूँटे, समतल जमीन और ऐसी माप-शर्त जिसमें कोई ढील नहीं। यही पूरा औजार था।

मूल ग्रन्थ

• बौधायन शुल्बसूत्र—विकर्ण-नियम (1.12/1.48), √2 का नियम (1.61–62) और वर्ग से वृत्त बनाने का नियम। संस्कृत पाठ बौधायनशुल्बसूत्रम् नाम से संस्कृत विकिस्रोत पर उपलब्ध है। यहाँ दिया देवनागरी पाठ विकिस्रोत से सीधे उतारने के बजाय उस पर आधारित सन्दर्भ-स्रोतों से लिया गया है; इसलिए किसी एक अक्षर को अन्तिम मानने से पहले विकिस्रोत या आलोचनात्मक संस्करण से जाँच आवश्यक है। सेन और बैग का 1983 का पाठ, अनुवाद और टिप्पणी सहित संस्करण मानक माना जाता है। विकर्ण-नियम में चतुरश्र/चतुरस्र और तिर्यङ्मानी/तिर्यग् मानी जैसे वर्तनी-भेद मिलते हैं।
• आपस्तम्ब शुल्बसूत्र 1.6—√2 के नियम का विस्तार।
• कात्यायन और मानव शुल्बसूत्र—अन्य दो मुख्य ग्रन्थ।
• शतपथ ब्राह्मण (शुक्ल यजुर्वेद), काण्ड 8 से आगे—अग्नि-वेदी का निर्माण; Sacred Books of the East शृंखला में एगलिंग का अनुवाद।
• तैत्तिरीय संहिता—स्वर्ग की कामना करने वाले के अनुष्ठान के रूप में बाज़ाकार वेदी।

आधुनिक शोध

• फ्रिट्स स्टाल—केरल में आज भी किए जाने वाले नम्बूदिरि वेदी-अनुष्ठानों में ईंटों की संख्या, आकार और परतों के विन्यास तथा साढ़े सात वर्ग पुरुष की क्षेत्रफल-सीमा पर उनका अध्ययन।
• शुल्बसूत्रों पर arXiv में उपलब्ध सर्वेक्षण—800–500 ईसा-पूर्व की सम्भावित तिथि (और उससे भी पुराना होने की सम्भावना), प्रमेयों की सूची तथा π के मानों के लिए।
• √2 पर शोध—शुल्बविद् परम्परा में विशेष और सविशेष के तकनीकी अर्थ तथा अलग त्रुटि-मानों के आधार पर भारतीय और बेबीलोनी संख्याओं के स्वतन्त्र होने का तर्क।

सावधानी से रखे गए दावे

• कई लोकप्रिय और परीक्षा-केन्द्रित वेबसाइटें सीधे कहती हैं कि बौधायन 800–740 ईसा-पूर्व में रहे और उन्होंने ‘पाइथागोरस प्रमेय की खोज’ की। ये तिथियाँ स्थापित तथ्य नहीं, परम्परागत अनुमान हैं। बचाव योग्य दावा ‘सबसे पुराना सुरक्षित लिखित कथन’ है—और वह बिना बढ़ा-चढ़ाकर कहे भी पर्याप्त प्रभावशाली है। यहाँ किसी विशेष तथ्य के लिए उन वेबसाइटों को स्रोत नहीं बनाया गया है।

इस शृंखला का पहला भाग, सबसे पुराने सूक्त धातुओं के बारे में क्या कहते हैं, वैदिक संसार के सोने, अयस् और धातुकर्मियों पर है। तीसरा भाग भूगोल और नाम पर विचार करेगा: वैदिक संसार कहाँ तक फैला था और भारत नाम सबसे पहले कहाँ मिलता है।